TehTab.ru Инженерный справочник.
Технические таблицы



БОНУСЫ ИНЖЕНЕРАМ!:

МЫ В СОЦ.СЕТЯХ:

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Квадратные и биквадратные уравнения. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. / / Примеры решений обыкновенных дифференциальных уравнений порядка выше первого.  / / Примеры решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

aoy(n)(x)+a1y(n-1)(x)+...+an-1y'(x)+any(x)≡0, ao,a1,...,an-1,an - const.

Составляем характеристическое уравнение aoλn+a1λn-1+...+an-1λ+an=0.

Находим все его корни.

Общее решение исходного уравнения (yoo) есть сумма, состоящая из следующих слагаемых. Каждому простому вещественному корню λ отвечает слагаемое Ceλx. Каждому вещественному корню кратности "k" отвечает слагаемое (Co+C1x+C2x2+ Ck-1xk-1)eλx.

Каждой паре простых комплексно-сопряженных корней λ=α±βi отвечает слагаемое b1eαxcosβx+b2eαxsinβx. Каждой паре сопряженных корней λ=α±βi с кратностью "k" отвечает слагаемое (ao+a1x+...+ak-1xk-1)eαxcosβx+(do+d1x+...+dk-1xk-1 )eαxsinβx.

Пример 1:

y'''-8y=0, составляем характеристическое уравнение

λ3-8=0,

λ3- 23=0,  по формуле сокращенного умножения получаем,

(λ-2)(λ2+2λ+4)=0, откуда корни уравнения

λ1=2

Возвращаемся к исходным обозначемниям, выражаем у

Пример 2:

y3+8y'''+16y'=0, составляем характеристическое уравнение

λ5+8λ3+16λ=0, выносим общий множитель за скобки

λ(λ4+8λ2+16)=0, сворачиваем то, что в скобках по формуле сокращенного умножения

λ(λ2+4)2=0, ищем корни

λ1=0

λ2,3=±2i (кратность k=2), возвращаемся к исходным обозначениям, выражаем у

y=C1+(C2+C3x)cos2x+(C4+C5x)sin2x

Пример 3:

y'''+2y''+y'=0, составляем характеристическое уравнение

λ3+2λ2+λ=0, выносим общий множитель за скобки

λ(λ2+2λ+1)=0, сворачиваем то, что в скобках по формуле окращенного умножения

λ(λ+1)2=0, ищем корни

λ1=0

λ2,3=-1 (кратность k=2), возвращаемся к исходным обозначениям, выражаем у.

y=C1+(C2+C3x)e-x

 

 



Дополнительная информация от TehTab.ru:

↓Поиск на сайте TehTab.ru - Введите свой запрос в форму

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.