TehTab.ru Инженерный справочник.
Технические таблицы



ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ:

БОНУСЫ ИНЖЕНЕРАМ!:

МЫ В СОЦ.СЕТЯХ:

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Квадратные и биквадратные уравнения. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. / / Примеры решений простейших = решаемых аналитически обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.  / / Примеры решений однородных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)

Примеры решений однородных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)

Примеры решений однородных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)

1. y'=f(y/x) или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где M(x,y) и N(x,y) однородные функции одной и той же степени "n", т.е. М(kx,ky)≡ kn M(x,y);

N(kx,ky)≡ kn N(x,y)

Заменой y=tx получается уравнение с разделяющимися переменными.

Пример.

(x+2y)dx-xdy=0

y=tx, dy=tdx+xdt

(x+2tx)dx-x(tdx+xdt)=0

x(1+2t-t)dx=x2dt, x(1+t)dx=x2dt

Делим на x2(1+t), получаем dx/x=dt/(1+t),

ln|x|=ln|1+t|+lnc

x=c(1+t)

x=c(1+y/x) или х+у=сx2

При делении потеряли решение х=0 и у=-х, но последнее решение входит в х+у=сx2 при с=0.

 

2. Уравнение сводимое к однородному сводится к однородному при помощи переноса начала координат в точку пересечения прямых ax+by+c=0 и

a1x+b1y+c1=0.

Пример.

(2x-4y+6)dx+(xy+3)dy=0

Уравнение сводимое к однородному

xo = 1, y o = 2

Сделаем замену Уравнение сводимое к однородному, здесь z-новая независимая переменная, u(z) - новая неизвестная функция.

(2z-4u)dz+(z+u)dy=0 получили однородное уравнение. Если же прямые ax+by+c=0 и a1x+b1y+c1=0 не пересекаются, то ax+by=k(a1x+b1y), и следовательно, уравнение имеет вид y'=F(ax+by), о котором говорилось в предыдущем пункте.




↓Поиск на сайте TehTab.ru - Введите свой запрос в форму

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.