TehTab.ru Инженерный справочник.
Технические таблицы



ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ:

БОНУСЫ ИНЖЕНЕРАМ!:

МЫ В СОЦ.СЕТЯХ:

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.  / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника - формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника - формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Для инженера это еще и единственная "жесткая" плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике..

Стандартные обозначения в треугольнике.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник.Остроугольный треугольник - это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник.

Тупоугольный треугольник - это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

(по соотношению сторон)
Равносторонний треугольник.

Равносторонний (правильный) треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный тругольник - это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник.

Разносторонний треугольник - это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Внешний угол в треугольнике.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ - называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) - периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

  3. Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

    •  a < b + c,
    •  a > b – c;
    •  b < a + c,
    •  b > a – c;
    •  c < a + b,
    •  c > a – b.

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

Равные треугольники. 1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).
2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).
3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).
4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Равные прямоугольные треугольники.

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

(р/а)=(q/b)=(r/c).

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Подобные прямоугольные треугольники.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше.

Теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов.

Теорема синусов и косинусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема синусов

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Теорема косинусов

Основные линии треугольника.

Медиана.

Медиана треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса треугольника

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрисы угла треугольника

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойства высот треугольника

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр треугольника

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Срединяя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник - формулы площади

Площадь треугольника

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) - по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. Формула Герона площади треугольника- по длинам сторон - формула площади Герона
  4. S=p*r - через периметр и радиус вписанной окружности
  5. S=(a*b*c) / (4R) - через длины сторон и радиус описанной оружности

Прямоугольный треугольник - площадь

Площадь прямоугольного треугольника

a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.

1. S=(1/2)*a*b

2. S=(1/2)*c*hc

Равносторонний (правильный) треугольник - площадь

Площадь прямоугольного треугольника

S=(a2*√3)/4

Примечание - в прямоугольном треугольнике:

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

- Синус α - это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

- Косинус α - это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

- Тангенс α - это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

- Котангенс α - это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)



Дополнительная информация от TehTab.ru:
  • Площадь треугольника, площадь прямоугольника, площадь трапеции, площадь квадрата, площадь круга, площадь полукруга и сектора, площадь параллелограмма. Площади плоских фигур. Формулы площади.
  • Вы сейчас здесь: Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника - формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.
  • Вписанные и описанные треугольники. Окружности вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольников.
  • Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Признаки подобия треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольников.
  • Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.
  • Длина хорды, центральный угол в ° (угловых градусах) и радианах при делении окружности единичного диаметра на равные сегменты.
  • Правильные многоугольники. Сторона. Радиус вписанной окружности. Радиус описанной окружности. Площадь. Формулы и таблица соотношений между ними.
  • Вычисление элементов плоских фигур. Площадь. Центр тяжести. Ключевые размеры.Квадрат. Прямоугольник. Параллелограмм. Треугольник. Трапеция. Правильный шестиугольник. Правильный многоугольник. Круг. Полукруг. Сектор. Сегмент. Кольцо. Кольц.сектор. Эллипс

  • ↓Поиск на сайте TehTab.ru - Введите свой запрос в форму

    Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.