TehTab.ru Инженерный справочник.
Технические таблицы



ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ:

БОНУСЫ ИНЖЕНЕРАМ!:

МЫ В СОЦ.СЕТЯХ:

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды.  / / Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.

Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.

Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.

 

1) Функция

Разложение в ряд Фурье(Функция является периодической за пределами заданного диапазона с интервалом 2π)

 

Этот прямоугольный сигнал показан на рис. ниже. Поскольку f(x) для двух половин диапазона задается двумя различными выражениями, интегрирование сигнала проводим для двух интервалов - сначала от -π до 0, затем от 0 до π.

Разложение в ряд Фурье. График

Отсюда коэффициенты Фурье:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

(В действительности ao - это среднее значение функции за полный период 2π, и его равенство 0 очевидно из рис. )

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Следовательно, a1, a2, a3, ... все равны 0 (поскольку sin0=sin(-nπ)=sinnπ=0), и поэтому в ряду Фурье нет членов с косинусами.

Коэффициенты ряда Фурье

Если n - нечетное,

bn=4k/nπ,

Следовательно, b1=4k/π, b3=4k/3π, b5=4k/5π и так далее,

Если n четное bn=0.

Следовательно, согласно основной формуле разложения в ряд Фурье для функции на рис. выше есть

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

т.е.

Ответ1:

f(x)=(4k/π)sinx+(4k/3π)sin3x+(4k/5π)sin5x+...

Ответ2:

f(x)=4k/π(sinx+1/3πsin3x+1/5sin5x+...)

Если в рассмотренном выше ряду Фурье k=π, то f(x)=4[(sinx+(1/3)sin3x+(1/5π)sin5x+...]. Выражение 4sinx называется первой частичной суммой ряда Фурье функции f(x), (4sinx+(4/3)sin3x) - второй частичной суммной ряда Фурье, (4sinx+(4/3)sin3x+(4/5π)sin5x) - третьей частичной суммой ряда Фурье и так далее.

Пусть Р1=4sinx, Р2=(4sinx+(4/3)sin3x) , Р3=(4sinx+(4/3)sin3x+(4/5π)sin5x)

Графики Р1, Р2, Р3 построены по таблицам значений, а их суммы показаны на трех рис. ниже, откуда видно, что ряд сходится, т.е.при увеличении количества рассматриваемых частичных сумм он стремиться к конечному пределу, и в пределе получается сумма f(x)= π. Даже при учете только трех частичных сумм форма графика приближается к прямоугольной, которую представляет ряд Фурье.

Разложение в ряд Фурье. График.

1)Первая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

Разложение в ряд Фурье. График.

2)Вторая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

Разложение в ряд Фурье. График.

3)Третья частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

2) Функция f(x)=2x

на диапазоне от - π до π

 

График функции y=2x

Для данного уравнения:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

 

Ответ:

2х= 4[(sinx-(1/2)sin2x+(1/3)sin3x-1/4sin4x+1/5sin5x-1/6sin6x+...)

3) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример. Разложение в ряд Фурье. График

Для данного уравнения :

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

 

Ответ:

f(x)=8/π(cosx-1/3cos3x+1/5cos5x-1/7cos7x+...)

4) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример. Разложение в ряд Фурье. График

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

 

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

5) Функция f(x)=x2

Разложение в ряд Фурье. График.

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

 

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

6) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример.

Разложение в ряд Фурье.График.

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

 

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

7) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример.

Разложение в ряд Фурье. График.

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

 

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

 




↓Поиск на сайте TehTab.ru - Введите свой запрос в форму

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.