TehTab.ru Инженерный справочник.
Технические таблицы


РАБОЧИЙ ИНСТРУМЕНТ ИНЖЕНЕРА:

  • 3D-принтеры
  • Панорамные камеры 360°
  • Power Bank 18650mAh 0-24V
  • Фен для пайки
  • Мобильный телескоп


  • МЫ В СОЦ.СЕТЯХ:

    Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды.  / / Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

    Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

    Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

    Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

    Разложение  e^x в ряд Тейлора в окрестности точки a=1

    Разложение  sinx в ряд Тейлора в окрестности точки a=1

    При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

    Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

    1)Ряд Тейлора в окрестности точки а, где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением Остаточный член в ряде Тейлора

    2)ряд Тейлора

    k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

    определение к-го члена ряда Тейлора

    3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

    при a=0 ряд Тейлора

    члены ряда определяются по формуле

    определение к-го члена ряда Тейлора

    Условия применения рядов Тейлора.

    1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

    2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

    Свойства рядов Тейлора.

    1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
    2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

    Решение определенного интеграла

    Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

    Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

    ↓Поиск на сайте TehTab.ru - Введите свой запрос в форму

    ↑Поиск на сайте TehTab.ru - Введите свой запрос в форму

    Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.