TehTab.ru Инженерный справочник.
Технические таблицы



БОНУСЫ ИНЖЕНЕРАМ!:

МЫ В СОЦ.СЕТЯХ:

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Линейная алгебра. (Вектора, матрицы)  / / Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Матрицы

Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

Матрицы. Сложение матриц

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

Матрицы. Вычитание матриц

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

Матрицы. Умножение матрицы на число

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Матрицы

Покажем операцию умножения матриц на примере

Матрицы. Умножение матриц

5. Возведение в степень

Матрицы. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'

Матрицы. Транспонирование

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Матрицы. Транспонирование

Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A')'=A

(λA)'=λ(A)'

(A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

Матрицы.

5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например

Матрицы.

6. Единичная матрица: m=n и

Матрицы.

7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

Матрицы.

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

Матрицы.

9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A

Например,

Матрицы.

10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii)

Пример.

Матрицы.

Ясно, A'=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji - комплексно - сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)

Пример

Матрицы.




↓Поиск на сайте TehTab.ru - Введите свой запрос в форму

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.